IIIEE-1
OCILADORES FORZADOS
Un oscilador amortiguado aislado dejará de moverse en algún momento. Si quiero que se siga moviendo, por ejemplo con una amplitud constante, deberé aplicar una fuerza que varíe con el tiempo ya sea periódica o cíclicamente. Con esto quiero decir que la fuerza aplicada deberá de ser de la forma sinusoidal o cosenuidal o aplicarla cada vez que el oscilador complete un ciclo. Considérese un péndulo: se puede mantener oscilando el péndulo con amplitud constante dándole un empujoncito una vez cada ciclo. A esta fuerza adicional se le dará el nombre de fuerza impulsora.
Cuando se aplica una fuerza impulsora que está variando con frecuencia angular a un oscilador armónico amortiguado, el movimiento resultante se llama oscilación forzada o bien oscilación impulsada, y es diferente del movimiento que de da cuando el sistema se desplaza del equilibrio y luego se deja en paz, en cuyo caso el sistema oscilará con una frecuencia angular natural determinada por m, k y b. En una oscilación forzada la frecuencia angular con que la masa oscila es igual a la frecuencia angular impulsora, la cual no tiene que ser igual a la frecuencia angular con que el sistema oscilaria sin una fuerza impulsora. Esta condición es lo que se denomina movimiento estacionario del oscilador impulsado. Existe una etapa previa llamada transitoria, en esta etapa la frecuencia natural y la frecuencia de la fuerza impulsora son importantes. Con el paso del tiempo la frecuencia de la fuerza impulsora impondrá su frecuencia al sistema, claro dependiendo de la magnitud de esta frecuancia. Todo esto lo describiré con más detalle a medida que se avance en el texto. Igualmente en las siguientes secciones me ocuparé de las soluciones matemáticas a estos problemas.
Antes de seguir me gustaría mostrar un ejemplo de un dispositivo físico real de este tipo. Obsérvese en la figura 1 cómo la masa está sujeta a un muelle y éste a la vez a un brazo oscilante, que se moverá de izquierda a derecha en un movimiento periódico o bien cíclico. En este caso el brazo oscilante dónde está sujeto el muelle hace las veces de la fuerza externa impulsora. El resorte o muelle hace las oscilaciones naturales una vez que se a movido el resorte de su posición de equilibrio:
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Figura 1. Ejemplo de un sistema físico donde el movimiento es forzado
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Supongamos ahora que se obliga a un oscilador a vibrar de tal forma que la frecuencia angular natural y la frecuencia angular de la fuerza impulsora sean casi iguales, ¿qué sucederá?, pues veremos entonces que ambas frecuencias son prácticamente iguales. Veremos también que la amplitud de la oscilación resultante es entonces mayor que cuando ambas frecuencias eran diferentes. El caso más fácil de analizar es una fuerza que varía Cosenuidalmente, digamos:
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Si variamos la frecuencia de la fuerza impulsora, veremos que la amplitud de la oscilación forzada resultante variará de manera interesante. Para ello remitámonos a la siguiente figura 2:
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Figura 2. Gráfica de la Amplitud A de oscilación forzada en función de la frecuencia w
de la fuerza impulsora. El eje horizontal indica el cociente de w y la frecuencia angular
de un oscilador no amortiguado. Cada curva tiene un valor distinto de la constante de amortiguación b.
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Si hay muy poca amortiguación (b pequeña), la amplitud tendrá un pico marcado al acercarse la frecuencia de la fuerza impulsora a la frecuencia natural del sistema. Si se aumenta la amortiguación (b mayor), el pico se ensancha y se hace menos alto, desplazándose hacia frecuencias más bajas.
Se puede deducir una expresión que muestre cómo la amplitud A de la oscilación forzada depende de la frecuencia de la fuerza impulsora senoidal, con valor máximo F. Resolviendo ecuaciones diferenciales el resultado sería:
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( La deducción completa de la ecuación (1) la presento en la última sección: Oscilaciones Forzadas con amortiguamiento)
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FORMULAS A USAR EN LA PROGRAMACION EN C++
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